ヤコビ多様体の分解
種数3の射影曲線C':X^4+Y^4=Z^4のヤコビ多様体J(C')が、
楕円曲線E_32,E_64を使ってJ(C')~E_32^2×E_64と結びつくことをついに理解した。

*種数2以上のアーベルヤコビ写像を初めて具体的に計算する良い経験をした。

これをフロベニウス写像のトレースの計算に利用できる。
E_32, E_64はそれぞれy^2=x^3-x, y^2=x^3+xを射影化した楕円曲線である。

前回のノートで描写したp乗フロベニウス写像は、
4N+1型素数pに対して、楕円曲線のa+bi倍写像と同一視できる。
[1] E_32においては、aは、a≡1 (mod 4)を満たし、
[2] E_64においては、a+bi≡1 (mod 2+2i)を満たす。
(言い換えると8N+1素数pではa≡1(mod 4)で、8N+5素数pではa≡3(mod 4)を満たす。)
p乗写像のH^1への作用のトレースは2aとなる。

4N+3型素数pに対してはp^2乗フロベニウス写像が、楕円曲線の(-p)倍写像と同一視できる。
p乗写像のH^1(E)への作用のトレースは0となる。

レフシェッツの不動点定理により、E_32やE_64のF_p解の個数をp-2a+1と計算できるのであった。

C'にレフシェッツの不動点定理を使うには、特にH^1(C')への作用のトレースを知る必要がある。
そこで、H^1(C')はH^1(J(C'))と同一視できて、その6次元空間を2次元ずつに分けて考えることで、
J(C')~E_32^2×E_64 を利用して H^1(E_32), H^1(E_32), H^1(E_32) に対するトレースの和に帰着する。

そういうわけで、C'のF_p解の個数は p-2a-2a-2a'+1 と計算できる。
ここでaは先の[1]を満たすa, a'は先の[2]を満たすaである。
この結果は過去のノートや、
https://tsujimotter.hatenablog.com/entry/elementary-proof-for-29-conjecture
で書かれている結果に一致する。
pが4N+3のときも同様の視点で説明できる。
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このノートでは、J(C')~E_32^2×E_64という現象について具体的に計算した。

(この事実は以前に見たことが有ったが、理解できなかったものである:
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12196905962

実際にはより対称性のある代数曲線C: X^4+Y^4+Z^4=0 を考え、J(C')~E_64^3を描写する。
最後にC':X^4+Y^4=Z^4の場合には2つの楕円曲線がE_32に変わる由来を見る。(ほとんど一言)

なお(上記URLで指摘があるように)「~」はisogenyであり、同型ではない。後でも補足する。
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代数曲線C: X^4+Y^4+Z^4=0は3つのアフィン非斉次座標で記述すると次のようになる:
$1+x_{10}^4+x_{20}^4 = 0$ on affine $U_0$
$x_{01}^4+1+x_{21}^4 = 0$ on affine $U_1$
$x_{02}^4+x_{12}^4+1 = 0$ on affine $U_2$
C上の点はX^4+Y^4+Z^4=0を満たす[X:Y:Z]によって記述される。この点は次のように対応する:
$(x_{10},x_{20})=(Y/X,Z/X)$ on $U_0$,
$(x_{01},x_{21})=(X/Y,Z/Y)$ on $U_1$,
$(x_{02},x_{12})=(X/Z,Y/Z)$ on $U_2$.

Cは種数3を持ち、3つの独立な正則微分形式を持つ:
$\omega_1 = dx_{10}/x_{20}^3 = -dx_{20}/x_{10}^3 = -x_{01}dx_{01}/x_{21}^3 $$= dx_{21}/x_{01}^2 = x_{02}dx_{02}/x_{12}^3 = -dx_{12}/x_{02}^2,$
$\omega_2 = x_{10}dx_{10}/x_{20}^3 = -dx_{20}/x_{10}^2 = -dx_{01}/x_{21}^3 $$= dx_{21}/x_{01}^3 = dx_{02}/x_{12}^2 = -x_{12}dx_{12}/x_{02}^3,$
$\omega_3 = dx_{10}/x_{20}^2 = -x_{20}dx_{20}/x_{10}^3 = -dx_{01}/x_{21}^2 $$= x_{21}dx_{21}/x_{01}^3 = dx_{02}/x_{12}^3 = -dx_{12}/x_{02}^3,$

$\Lambda = \{ \int_\gamma\omega:= (\int_\gamma \omega_1, \int_\gamma \omega_2, \int_\gamma \omega_3)\ | \gamma$: cycle in $C \}$ は $\mathbb{C}^3$ の格子をなす。
アーベルヤコビの定理によると、ヤコビ多様体J(C)はC^3/Λに同型である。
(ヤコビ多様体が次数0の因子類群を主因子で割った群という内容は既知と想定し説明しない)

C上の基準となる点Aを1つ固定する。
写像 $C \to J(C)$: $P\to (\int_A^P \omega_1, \int_A^P \omega_2, \int_A^P \omega_3) \bmod \Lambda $ が定義される。
Cの点Pに対して、その像は因子[P]-[A]と同一視される。

C上のいくつかの点を次のように名付けておく:
$P_{a} = [0:1:\zeta^a], Q_{a}= [\zeta^{a}:0:1], R_{a} = [1:\zeta^a:0]$,
ここで $a \in \{1,3,5,7\}, \zeta = (1+i)/\sqrt2$.

格子Λの生成元は以下のようにとれる(と思っているが実は確信はない):
$v_1=(0,0,8)k/\sqrt2$,
$v_2=(0,0,8i)k/\sqrt2$,
$v_3=(0,4+4i,4+4i)k/\sqrt2$,
$v_4=(0,4-4i,4+4i)k/\sqrt2$,
$v_5=(4+4i,0,4+4i)k/\sqrt2$,
$v_6=(4,4,4)k/\sqrt2$.
ここでkは定数で、1/sqrt(1-x^4)のx=0からx=1までの定積分値Γ(5/4)Γ(1/4)/sqrt(2π)≒1.31103である。
計算:https://math.stackexchange.com/questions/3859151/jacobian-variety-of-fermat-quartic-x4y4z4-0-as-3-torus

$\omega_3 = dx_{10}/x_{20} = dx_{10}/\sqrt{1+x_{10}^4}$ に注目する。
[X':Y':Z'] = [XY:YY:ZZ] という射影平面内の写像fを考える。
U_0での様子が見やすくて、y20=x20^2によって
$x_{10}^4+x_{20}^4+1 = 0$ を、$y_{10}^4+y_{20}^2+1 = 0$ に送っている。
([X:Y:Z]に対応する非斉次座標をxijとおいたように[X':Y':Z']に対応する非斉次座標をyijとおいた)
像Eは種数1の曲線で、ω_E:$dy_{10}/dy_{20} = dy_{10}/\sqrt{1-y_{10}^4}$が正則な微分形式である。

f:C→Eを自然にf_C:J(C)→J(E)に延長することができる。
J(E)は複素数平面を (4k/√2), (4ik/√2)で生成された格子Λ_Eで割ったものであることが分かる。
(この格子Λ_EはΛを求めるのと同様にω_Eを適当なサイクルで積分することにより求めた。)

C→J(C)を定めるときに使ったCの基準点Aの像f(A)を使って、Q∈Eを∫[f(A)→Q]ω_Eに送る写像E→J(E) [これは同型]を定める:
sω_Eとω_3の式を見比べることにより、C→J(C)によるPの行先の第3成分は、f(P)のE→J(E)による行先と一致することが分かる。
こうして、J(C)の第3成分を射影した楕円曲線を得た。
J(C)の元(c_1,c_2,c_3) mod ΛのうちC→J(C)の像に対してはfの行先が第3成分c_3であることが分かった。
J(C)の任意の元はC→J(C)の像で生成されるという事実により、他のすべての元に対してもこれが言える。


同じ話題の過去のノートの[5-1]に書いた変数変換によって、
$y_{10}^4+y_{20}^2+1 = 0$ はQ(i)上、E_64: y^2=x^3+x と双有理同型であることが確認される。

座標X,Y,Zおよび微分形式ω_1,ω_2,ω_3には対称性があるから、他の成分を射影した楕円曲線も同様に考えられる。
こうして3つの射影により、J(C)→E_64^3が得られる。

補足:こうして得られたJ(C)→E_64^3 はisogenyであるが、同型ではないことについて。(全射だが単射でない)
これはJ(C)の格子の辺が座標軸に沿ってないことによる。
例えば (0,4,4)k/√2 は格子Λに含まれないが、各成分の射影は、Λ_Eには含まれてしまう。
すなわち、J(C)の格子Λは、E_64^3の格子Λ_E^3の部分格子という状況である。
ΛがΛ"の部分格子であるとき、恒等写像から誘導されるC^3/Λ→C^3/Λ"のような写像は、isogenyの概念である。
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C': X^4+Y^4=Z^4 の場合
ほとんど同様である。

$y_{10}^4+y_{20}^2+1 = 0$ に相当する式が $y_{10}^4-y_{20}^2+1 = 0$ に変わる。
$y_{21}^4+y_{01}^2+1 = 0$ に相当する式が $-y_{21}^4+y_{01}^2+1 = 0$ に変わる。
$y_{02}^4+y_{12}^2+1 = 0$ に相当する式が $y_{02}^4+y_{12}^2-1 = 0$ に変わる。

このうち1つ目はE_64に同型のままとなるが、2つ目と3つ目がE_64: y^2=x^3+xの代わりにE_32: y^2=x^3-xに同型になる。

2020/10/11 記述
2023/6/19 数式表示不具合修正


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