[1] https://ncatlab.org/nlab/show/scheme
とその周辺を適当に読んでいる。

定義2.1から始まる一連の関手的な視点について理解するには、具体例の観察が欠かせなかった。
それをメモとして残しておくのである：

ここでは米田の補題が関係する所がある。それに合わせて
[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Yoneda_lemma
と記号が対応するようにアルファベットを選んだ。
[1]とはアルファベットが少し違うのはそういう事情である。

RingからSetへの特別な関手Hom(k[t],・)をFとする。
特定の環Aによる別の関手Hom(A,・)をh_Aとする。

このh_Aのことを(関手としての)アフィンスキームSpecAと認識し、
h_AからFへの自然変換をSpecA上の関数と認識する。

これが実際に通常の意味での関数(構造層の大域切断)と合致することを確認するのがこのノートの内容である。

関手h_Aは、環Rを、Hom(A,R)の元、つまりSpecAのR-値点に送る関手と認識できる。

具体例としてA=Z[x,y]/(x^3+1-y^2) と特定しておく。
Ringの対象：Zを、Setの対象：集合{(2,3),(2,-3)} に送る

（補足：Hom(A,Z)の元としての、(x,y)を(2,3)に送るようなZ[x,y]/(x^3+1-y^2)からZへの環準同型を、(2,3)と略記して表記しているのである。）

関手Fは、環Rを、t軸のR-値点、つまりRの元からなる集合に送る。
（いわゆるRingからSetへの忘却関手）

h_AからFへの自然変換は、それぞれの環Rに対して、
x^3+1-y^2=0 の R-値点　から　Rの元　への写像を定める。
例えば環Zに対して{(2,3)→3, (2,-3)→9} という写像が考えられる。

これはそれぞれの環に対して好き勝手に定められるわけではない。

例えば環Zに対する射h_A(Z)→F(Z)を上記のように定めたら、環Qに対してh_A(Q)→F(Q)を定める時に
h_A(Z)→F(Z)
↓　　　↓
h_A(Q)→F(Q)
が可換にならなければいけない。
特にSpecAのQ-値点としての(2,±3)は、Z-値点としての(2,±3)と同じ行き先である必要がある。

別の制約としては、例えば
h_A(Z)→F(Z)
↓　　　↓
h_A(Z/2Z)→F(Z/2Z)
が可換になることを考えると、(2,3)の行き先と(2,-3)の行き先は偶奇が一致しなければいけないことも要求される。

このような制約を常に満たす単純な方法には、R-値点(x,y)の行き先をx,yのZ係数多項式で定める方法がある。
（「(x,y)の行き先をax+byと定める」とすれば上記のような制約は常に満たされることが分かる。）

ところが、実は、この定め方で、すべてである！

h_A(A)、つまりSpecAの「A-値点」を考えるのである。
A-値点として特に恒等射A→Aに対応する点id=(x,y)がある。
このidの行き先となるF(A)の元、つまりA=Z[x,y]/(x^3+1-y^2)の元が定まっている。

以下の観察が決定的である。

・idの行き先を決めれば、他のA-値点の行き先も決まり、従ってh_A(A)→F(A)が定まってしまう。
例えばA-値点(x,y)が多項式u(x,y)に移るときに、A-値点(x,-y)がu(x,-y)に移ることが要求される。
（この例を思い浮かべるには、h_A(A)の元としての恒等写像A→AをA-値点(x,y)と認識していて、
　yの符号を変える環準同型w:A→AをA-値点(x,-y)と認識して、以下の議論を見ると良い。）

idとは別のA値点 w:A→A ∈ h_A(A) を考える。次の可換図式を考える：
h_A(A)→F(A)
↓　　　↓
h_A(A)→F(A)
横の射は(2行とも)定めたい自然変換。縦の射は環準同型w:A→Aを関手h_A,Fで移したもの。
id∈左上　の横の射の行き先をu(x,y)∈Aとする。
左の縦の射はidをwに送り、右の縦の射はuをw(u)に送る
wの行き先はw(u)と要求されるのである。
id → u(x,y)
↓　　↓
w 　 w(u(x,y))

・h_A(A)→F(A)が定まってしまえば、任意の環Xに対するh_A(X)→F(X)も定まってしまう。
上記の議論の2行目のAをXに置き変えれば良い。最初からそう議論しても良かった。
例えばA-値点(x,y)がu(x,y)に移るなら、Z-値点p=(2,3)はu(2,3)に移らなくてはいけない。

h_A(A)→F(A)
↓　　　↓
h_A(Z)→F(Z)

Z-値点pとは、AからZへの環準同型のことである。
このpを関手で移したものがこの図式の縦の射を定義すると同時に、
このpはid∈h_A(A)を縦の射で移したh_A(Z)の「元」の役割でもある。
これによってpの行き先がu(2,3)と要求されるのである。
id → u(x,y)
↓　　↓
p　　u(2,3)

以上の議論は、実は米田の補題の具体的な適用例である。
（上記の図式は[2]のwikipediaにある証明の図式と、縦横が逆なだけでほとんど同じ。）

自然変換が「h_A(A)がid_Aを何に送るか」を「F(A)がid_Aを何に送るか」に送るか、
に注目する所が中心的であった。
この入れ子構造はややこしく、上記のように具体的な例を使うと少し分かりやすかった。
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(アフィンとは限らない)スキーム

以上の議論から、RingからSetへの関手圏Set^Ringのうち、表現可能なものがアフィンスキームという解釈ができた。
(アフィンとは限らない)(関手としての)スキームは、略式に、これらの間にある構造として認識できる：
アフィンスキーム　⊂　スキーム　⊂　Set^Ring
と考えることができる。

ここでは、(通常の)スキームXから(関手としての)スキームに翻訳するには、
環Rを、Mor(R,X)に送る関手　というふうに認識するのである。
（このMorは(通常の意味の)スキームとしての射を意図している）

ここで
[1]で"fundamental theorem on morphisms of schemes" として引用されている事実：
スキームの圏　から　Set^Ring　への埋め込みは忠実充満である
によって特に、異なる(通常の)スキームは、異なる(関手としての)スキームに翻訳される。

位相(特にグロタンディーク位相)、貼り合わせ、層などを、引き続き関手の視点で考察したいけど、
まだよく理解できていないので書けない
 2019/7/15