5章メモ チャーン類
$\mathbb{P}^3$の滑らかな3次曲面に直線は何本含まれるか？
直線$L \subset \mathbb{P}^3$を固定する。
3次式$F$で定義される3次曲面XがLを含む条件式は、$F$の係数に関する4つの1次式で書ける。
(係数比較法による定数項から3次の項までの4つの次数に相当する。)
3次曲線のパラメータ空間$P^{20}$から、L上の3次形式の空間$V_L=H^0(O_L(3))$への制限を考える

・チャーン類とは、ここでの文脈で、おおまかには：
「(十分な大域切断を持つ)ベクトル束(有限階数rの局所自由O_X加群の層)に体して、
それが退化する場所に相当するサイクルを、退化の次元ごとに与えたもの」と理解した。

・十分な大域切断を持つベクトル束の一般な大域切断が余次元iで退化する所は余次元iという背景がある。
（補題5.2）

・一番簡単な例として：$\mathbb{P}^n$における直線束$O(m)$の1次チャーン類は超平面類の$m$倍である。
　このように階数が1の場合は有理切断の因子のチャーン類として解釈できる。

・$\mathbb{P}^3$上の直線Lを固定する。Xを$\mathbb{P}^3$の3次曲面とする。Xの定義方程式をFとする。
LがXに含まれる条件は、Fの係数に関する4つの1次式で表される：
$\mathbb{P}^3$の3次形式からL上の3次形式への写像：$O_P(3) \to O_L(3)$がある。20次元から4次元への全射である。
LがXに含まれる条件は、これによりFが0に移ることである。

Lが$\mathbb{P}^3$上の直線を渡るとき、ファイバーが$O_L(3)$であるような、$\mathbb{G}(1,3)$上の階数4のベクトル束${\cal V}$がある。
そうすると、3次形式Fは、それぞれのLへの制限によって、${\cal V}$の大域切断をなす。
この大域切断が消える所が、Xが含む直線に相当する。
（これが0次元集合と想定することができれば、）
この類は、4次のチャーン類$c_4(\cal V)$という概念に相当する。

こうして、チャーン類の計算が数え上げ問題の答えを与える。

これを計算するのに・・
$\mathbb{G}(1,3)$の自明束$\cal S$とは、これを4次元空間のうちの2次元部分空間のパラメータ空間$G(2,4)$とみなし、
その元x、すなわち特定の2次元部分空間上のファイバーを、その2次元部分空間自体とするようなベクトル束である。
L上のファイバーが$O_L(1)$であるようなベクトル束が、$\cal S$の双対に相当し、
$\cal V$はその3次対称代数${\rm Sym}^3 {\cal S^*}$に相当するという関係がある

・計算の概要
$c({\cal S}^*) = 1+ \sigma_1 + \sigma_{1,1}$ である(後述)。
階数2のベクトル束の3次対称代数のチャーン類は、練習5.34で計算した公式を使うと
$c({\cal V}^*) = 18c_1^2({\cal S^*})c_2({\cal S^*})+9c_2({\cal S^*})^2$
$ = 18\sigma_1^2\sigma_{1,1} + 9\sigma_{1,1}^2$
= 27 [点]
と計算できる。最後に使ったシューベルトサイクルの積は、例えばchow.htmlに書いた。

チャーン類の計算には、次の2つが有用である：

・ホイットニーの公式
ベクトル束の完全列 $0 \to {\cal F} \to {\cal G} \to {\cal H} \to 0$ があるとき、$c({\cal G}) = c({\cal F})c({\cal H})$

・分裂原理 5.11
「チャーン類に関する恒等式は分裂するベクトル束について正しければ一般に正しい」

練習問題でこれらを使って対称代数やテンソル積のチャーン類の計算の様子を見る。

・実際の例：
$O_{\mathbb{P}^n}(1)$ のチャーン類は $1+\alpha$ だから、
$S=O_{\mathbb{P}^n}(-1)$ のチャーン類は $1-\alpha$ で、
普遍商束 $Q$ は、$0→S→O→Q→0$ より、$1-\alpha$ の逆数、$1+\alpha+\ldots+\alpha^n$である。

グラスマン多様体 $G(k,n)$ では、
$c({\cal Q})=1+\sigma_{1}+..+\sigma_{n-k}$
$c({\cal S}^*)=1+\sigma_{1}+..+\sigma_{1,1,..,1}$
$c({\cal S}^*)=1-\sigma_{1}+..+(-1)^k\sigma_{1,1,..,1}$
が成り立つ。(5.6.2)
（$\cal Q$は十分な大域切断を持つので、冒頭の説明で解釈できる。$\cal S$はそうではなくホイットニーの公式による。）

・接束
$\mathbb{P}^n$の接束のチャーン類は、オイラー完全列により、$(1+\alpha)^{n+1}$と分かる。
$d$次超曲面の接束のチャーン類は法束完全列によって $(1+\alpha)^{n+1} / (1+d\alpha)$ となる。
グラスマン多様体の接束のチャーン類は$\cal S^*\otimes Q$であり、一般には簡単に表せない。

練習5.30
${\cal E}$を階数3のベクトル束とする。
2次の外積代数$\land^2{\cal E}$のチャーン類を${\cal E}$のチャーン類で表現せよ。

分裂原理により、${\cal E}$が$L_1\oplus L_2\oplus L_3$と分解できる場合を考えれば良い。
このとき、$c({\cal E}) = (1+c_1(L_1))(1+c_1(L_2))(1+c_1(L_3))$ となる。

$\land^2{\cal E} = (L_1\otimes L_2)\oplus (L_1\otimes L_3)\oplus (L_2\otimes L_3)$ ということになるので、
$c(\land^2{\cal E}) = (1+c_1(L_1)+c_1(L_2))(1+c_1(L_1)+c_1(L_3))(1+c_1(L_2)+c_1(L_3))$

$c_1=a+b+c, c_2=ab+bc+ca, c_3=abc$ とおいたときの $a+b,b+c,c+a$ の対称式、具体的には
$C_1=(a+b)+(b+c)+(c+a)=2c_1$
$C_2=(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)=a^2+b^2+c^2+3(ab+bc+ca)=c_1^2+c_2$
$C_3=(a+b)(b+c)(c+a)=2abc+(a^2b+...)=c_1c_2-c_3$
となる。 （以前に作った対称式ツール　http://searial.web.fc2.com/tools/taishou.html　を久しぶりに使った。）
すなわち、最終的な答えは以下のようになる。（次からはこのような記述を省略する）
$c_1(\land^2{\cal E})=2c_1({\cal E})$,
$c_2(\land^2{\cal E})=c_1({\cal E})^2+c_2({\cal E})$,
$c_3(\land^2{\cal E})=c_1({\cal E})c_2({\cal E})-c_3({\cal E})$.


練習5.31
${\cal E}\otimes \land^2[{\cal E}] \to \land^3{\cal E}={\rm det}({\cal E})$ より、 $\land^2{\cal E}＝{\cal E}^*\otimes {\rm det}({\cal E}) $であることから、
5.5.1の直線束とのテンソル積の公式を使って、上記の結果を確認せよ：

・命題5.14(双対): $c_i({\cal E}^*) = (-1)^i*c_i({\cal E})$
・命題5.17(直線束とのテンソル積): ${\cal E}$が階数rのベクトル束で$L$が直線束のとき、
$c_k({\cal E}\otimes L) = Σ_{l=0}^k \binom{r-l}{k-l} c_1(L)^{k-l} c_l({\cal E}) = \sum_{i=0}^k \binom{r-k+i}{i} c_1(L)^i c_{k-i}({\cal E})$
・$c_1({\rm det}({\cal E})) = c_1({\cal E})$

以上により計算できる：
$c_1(\land^2{\cal E}) = \binom{3}{1} c_1({\cal E}) + \binom{2}{0} 1 c_1({\cal E}^*)$ $ = 2c_1({\cal E})$
$c_2(\land^2{\cal E}) = \binom{3}{2} c_1({\cal E})^2 + \binom{2}{1} c_1({\cal E})c_1({\cal E}^*) + \binom{1}{0} c_2({\cal E}^*)$ $ = c_1({\cal E})^2+c_2({\cal E})$
$c_3(\land^2{\cal E}) = \binom{3}{3} c_1({\cal E})^3 + \binom{2}{2} c_1({\cal E})^2c_1({\cal E}^*) + \binom{1}{1} c_1({\cal E})c_2({\cal E}^*) + \binom{0}{0} c_3({\cal E}^*)$ $ = c_1c_2-c_3$
先と同じ結果になった。やった！

練習5.32：${\cal E}$が階数4のベクトル束のとき、$\land^2{\cal E}$のチャーン類

$C_1$ = (a+b)+(b+c)+(c+d)+(d+a)+(a+c)+(b+d) = $3c_1$
$C_2$ = (a+b){(a+c)+(a+d)+(b+c)+(b+d)+(c+d)} + (a+c){..} + (a+d){..} + ...
= (a+b)(2a+2b+3c+3d) + ...
= 2(a+b)^2 + 3(a+b)(c+d) +...
= 2aa+2bb + 4ab + ..
= 3(aa+bb+cc+dd) + 2(ab+..) = 3[2]+8[11]=$3c_1^2+2c_2$
$C_3$ = [3]+7[12]+18[111] = $c_1^3+4c_1c_2$
$C_4$ = 2[13]+5[22]+13[112]+30[1111] = $2c_1^2c_2+c_1c_3+c_2^2-4c_4$
$C_5$ = [23]+3[113]+7[122] = $c_1^2c_3+c_1c_2^2-19c_1c_4$
$C_6$ = [123]+2[1113]+4[1122]+2[222] = $c_1c_2c_3-c_1^2c_4-c_3^2$
（計算機と対称式ツール利用）

練習5.33：${\cal E}$が階数3のベクトル束のとき、${\rm Sym}^2{\cal E}$のチャーン類

階数は6となる。 a+a,b+b,c+c,a+b,b+c,c+aの基本対称式を、a,b,cの基本対称式で表す計算になる。
$C_1$ = (a+a)+(b+b)+... = 4(a+b+c) = $4c_1$
$C_2$ = (a+a)(b+b)+... = 5(aa+..)+15(ab+).. = $5c_1^2+5c_2$
$C_3$ = ... = 2[3]+17[12]+52[111] = $2c_1^3+11c_1c_2+7c_3$
$C_4$ = ... = 6[13]+16[22]+52[112] = $6c_1^2c_2+14c_1c_3+4c_2^2$
$C_5$ = ... = 4[23]+16[113]+40[122] = $8c_1^2c_3+4c_1c_2^2+4c_2c_3$
$C_6$ = ... = 8[123]+16[222] = $8c_1c_2c_3-8c_3^2$

練習5.34：${\cal E}$が階数2のベクトル束のとき、${\rm Sym}^3{\cal E}$のチャーン類

階数は4である。
a+a+a,a+a+b,a+b+b,b+b+bの基本対称式を、a,bの基本対称式で表す計算になる。
$C_1$ = (a+a+a)+(a+a+b)+(a+b+b)+(b+b+b) = 6(a+b) = $6c_1$
$C_2$ = (a+a+a)((a+a+b)+(a+b+b)+(b+b+b)) + (a+a+b)((a+b+b)+(b+b+b)) + (a+b+b)(b+b+b)
= 3a(3a+6b)+(2a+b)(a+5b)+(a+2b)3b = 11(a+b)^2+8ab = $11c_1^2+8c_2$
$C_3$ = (a+a+a)(a+a+b)(a+b+b)+... = 6(a+b)^3 + 30ab(a+b) = $6c_1^3+30c_1c_2$
$C_4$ = (a+a+a)(a+a+b)(a+b+b)(b+b+b) = 18ab(a+b)^2 + 9aabb = $18c_1^2c_2+9c_2^2$


練習5.35
${\cal E},{\cal F}$を階数2のベクトル束とする。テンソル積${\cal E}\otimes {\cal F}$のチャーン類。

${\cal E}=L_1\oplus L_2, F=L_3\oplus L_4$ の場合は
${\cal E}\otimes {\cal F} = L_1\otimes L_3\oplus L_2\otimes L_3\oplus L_1\otimes L_4\oplus L_2\otimes L_4$
で階数は4である。$(a+x),(a+y),(b+x),(b+y)$の対称式の計算である。計算機を利用した：
$c_1({\cal E}\otimes {\cal F})=2c_1({\cal E})+2c_1({\cal F})$
$c_2({\cal E}\otimes {\cal F})=c_1({\cal E})^2+c_1({\cal F})^2+2c_2({\cal E})+2c_2({\cal F})+3c_1({\cal E})c_1({\cal F})$
$c_3({\cal E}\otimes {\cal F})=(c_1({\cal E})+c_1({\cal F})) (c_1({\cal E})c_1({\cal F})+2c_2({\cal E})+2c_2({\cal F}))$
$c_4({\cal E}\otimes {\cal F})=(a+x)(a+y)(b+x)(b+y)$
　$ = c_2({\cal E})^2+c_2({\cal F})^2 + c_1({\cal E})c_1({\cal F})(c_2({\cal E})+c_2({\cal F}))$
　$ + c_1({\cal E})^2c_2({\cal F}) + c_1({\cal F})^2c_2({\cal E}) - 2c_2({\cal E})c_2({\cal F})$

練習5.36
ただこの計算がどれほどすぐに複雑になるかの実感のため
前の練習で、${\cal E}$が階数2、${\cal F}$が階数3のときの場合を考えてみよ。

$(a+x),(a+y),(a+z),(b+x),(b+y),(b+z)$の対称式の計算で、結構大変。省略

練習5.37
練習5.35を応用して、グラスマン多様体G(2,4)の接束のチャーン類を求めよ。

$T=S^*\otimes Q$ であった。先に書いたように、
$c({\cal S}^*) = 1+\sigma_1+\sigma_{1,1}$
$c({\cal Q}) = 1+\sigma_1+\sigma_2$
であるから、
$c_1(T) = 4\sigma_1$
$c_2(T) = \sigma_1^2+\sigma_1^2+2\sigma_{1,1}+2\sigma_{2}+3\sigma_1^2 = 7(\sigma_{1,1}+2\sigma_{2})$
$c_3(T) = 2\sigma_1*(\sigma_1^2+2\sigma_{1,1}+2\sigma_2) = 6\sigma_1(\sigma_{1,1}+\sigma_2) = 12\sigma_{2,1}$
$c_4(T) = \sigma_{1,1}^2+\sigma_2^2 + \sigma_1^2(\sigma_{1,1}+\sigma_{2}) + \sigma_1^2(\sigma_{1,1}+\sigma_{2}) - 2\sigma_{1,1}\sigma_2$
　$ = 6\sigma_{2,2}$ と計算される。
[chow.htmlに書いた積構造の結果を使った]

練習5.38
2次曲面Q⊂P^5の接束のチャーン類を求め、前の練習の結果と合致することを確認せよ。

5.7.2に書いてある内容により、
$c(T) = (1+\zeta)^6 / (1+2\zeta) = 1+4\zeta+7\zeta^2+6\zeta^3+3\zeta^4+\ldots$ と計算できる。
実際、前の練習の結果は次のように表せて、この係数と一致する。すごい！
$c_1(T) = 4\sigma_1$
$c_2(T) = 7\sigma_1^2$
$c_3(T) = 6\sigma_1^3$
$c_4(T) = 3\sigma_1^4$

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