基礎体Kと、K上の楕円曲線を定めると、2次元ガロア表現を得る。

[1] Z/nZ 上の2次元表現
楕円曲線、例えばC:y^2=x^3+x（正確にはzy^2=x^3+xz^2）を考える
（楕円曲線には虚数乗法を持つ者と持たないものがあるが
今回の例は虚数乗法を持つ楕円曲線である。）

楕円曲線にはアーベル群の構造があってそれを概説する必要がある。
楕円曲線上の点P,Qに対して-P,P+Qと呼ばれる点が定義できる：
加法を繰り返すことで自然数nに対してn倍点nPを定義できる。
これらで定義される点は、元の座標の有理式で表せることを指摘しておく。

加法の零元Oは[x:y:z]=[0:1:0]（xy平面では無限遠点）である
Pを通りy軸に平行な直線と楕円曲線の交点を-Pと定義する
P,Qを通る直線と楕円曲線のもう１つの交点を-(P+Q)で定義する

代数閉体で考えると、楕円トーラスの構造をしている。
ワイエルシュトラスのペー関数で関連付けられる。
とにかく、n等分点：nP=Oとなる点Pはn^2個あって
楕円曲線の加法によって、Z/nZ×Z/nZの群構造をしている。
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n等分点であるという条件は、K係数有理式で表せるので、
n等分点の「共役」もn等分点である必要がある。
そこで、ガロア群Gal(Ω/K) [ΩはKの代数閉包]の元gは、
n等分点をn等分点に移す。
しかも、楕円曲線の加法演算はK上有理式で書けるから、
g(P+Q)=g(P)+g(Q)　が成り立つ、つまり、gは「線形的」に作用する
こうして、ガロア群のZ/nZ上の2次元表現を得る。
（Gal(Ω/K)からM_2(Z/nZ)=End(Z/nZ×Z/nZ)への準同型）

n等分点の座標を全部含む体をLとするとgの表現はgのLの元への作用で決まるから、
Ωをとるのはやや過大であり、実際には
Gal(L/Q) の表現：ρ：Gal(L/Q)→End((Z/nZ)^2)　があって、
Gal(Ω/Q) の表現は次のようにおまけ的に考えられる：

Gal(Ω/L)はGal(Ω/Q)の閉部分群をなしていて
Gal(L/Q) = Gal(Ω/Q) / Gal(Ω/L) という関係がある。
Gal(Ω/Q)の表現は、標準的全射：Gal(Ω/Q)→Gal(L/Q)とρの合成である。

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具体的な計算を紹介する

Q上の楕円曲線 C:y^2=x^3+x（正確にはzy^2=x^3+xz^2）を考える。
5等分点は25個あって、Z/5Z×Z/5Z　の構造を持っている。
適当に基底をとると{(a,b)|a∈Z/5Z,b∈Z/5Z} と書ける。
そこでガロア群が、25個の5等分点に線形写像として作用するのである。

加法公式を検索すると有難いことに直接入手可能である：
http://yoshiiz.blog129.fc2.com/blog-entry-351.html
今回の場合は、a=0, b=1, c=0 である
5倍点を得る方程式は、2倍点と3倍点のx座標が等しいとして得られる。
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将来の自分用にMaximaにコピペできるコマンドを貼っておく：
wa(X,Y) :=[
 (Y[2]-X[2])/(Y[1]-X[1])*(Y[2]-X[2])/(Y[1]-X[1])-a-X[1]-Y[1] ,
-(Y[2]-X[2])/(Y[1]-X[1])*((Y[2]-X[2])/(Y[1]-X[1])*(Y[2]-X[2])/(Y[1]-X[1])-a-X[1]-Y[1] )
 +(Y[2]*X[1]-X[2]*Y[1])/(Y[1]-X[1])];
bai(X):=[ (1/(4*X[2]^2))*(X[1]*X[1]*X[1]*X[1]-2*b*X[1]*X[1]-8*c*X[1]+b*b-4*a*c),
 (1/(8*X[2]*X[2]*X[2]))*(X[1]^6+2*a*X[1]^5+5*b*X[1]^4
 +20*c*X[1]^3+(20*a*c-5*b*b)*X[1]^2
 +(8*a*a*c-2*a*b*b-4*b*c)*X[1]+(4*a*b*c-8*c*c-b*b*b))];
----------
これにより無限遠点以外の24個の点を得る方程式を入手した：
(5*x^4+2*x^2+1)*(x^8+12*x^6-26*x^4-52*x^2+1)=0
(125*y^8+88*y^4+16)*(y^16+2128*y^12-97696*y^8-11008*y^4+256)=0
x座標は2点ずつが組になるので12次方程式となっている。
一方y座標はばらばらなので、y座標によって点を指定できる。

x^2の4次方程式なので具体的な冪根で解ける。
Maximaに投げると例えば
P = [x1,y1] = [√(2√5+2√(5-2√5)-3√2), √(x1^3+x1) ]
2P = [x2,y2] = [√(2√5-2√(5-2√5)-3√2), √(x2^3+x2) ]
3P = [x2,-y2]
4P = [x1,-y1]
これが、2次元空間のうち、1次元部分空間である
線形独立な別の点として Q = [x1',y1'] = [-x1,i*y1] をとれる。(虚数乗法を使った)
そうすると{aP+bQ|a,b∈Z/5Z} によって25個の5等分点が表示されることになる。

P+Q, 2P+Q, 2P+2Q のx座標を求めてみると、
P+Q： -√(-2√5+2√(5+2√5)-3√2)
2P+Q： √(2i-1) / √5
2P+2Q： √(-2√5-2√(5+2√5)-3√2)
という挙動となっている。

Gal(Ω/Q)の元が、これらの25等分点をどう動かすかを考えることで、
(Z/5Z)^2 を表現空間とした2次元表現を得ることができる。

例えば、典型的なガロア群の元「複素共役」を考える
Pから4Pは座標が実数なので固定される。
Qはx座標が実数でy座標が純虚数であるので、Qは4Qに移る。
[1,0]
[0,-1]
という行列で表現されることになる。この行列をIと名付けておく。I^2=E。

もうちょっと込み入った構造に立ち入ってみる。
Pの行き先を決めれば、Q=[-x1,i*y1]であるから、
Qの行き先の候補は2つだけとなる。(iの符号を変えるかどうか)
Pの行き先として有り得るのは、y座標がy1の共役となっている16個である。
(0,±2P±Q,±P±2Q)が除かれている。
従ってガロア群Gal(L/Q)は位数32の群である。
いくつかの試せば、非可換な群であることが分かる。
また、虚数乗法論によると、iを固定するガロア群 Gal(L/Q(i))は、
(Z[i]/5Z[i])の乗法群に等しいことが分かっている。
つまり5と互いに素なu+viによって(u+vi)(a+bi)=c+diのとき
aP+bQを c+dQ に送るようなガロア群の元g(u,v)がある。
[u,-v]
[v,u]
の形の行列で表現され、条件はu^2+v^2が5の倍数でないことである。
この行列をJ(u,v)と名付けておく。
I.J(u,v).I = J(u,-v)という関係がある。
J(u,v).I = I.J(u,-v) は以下の形となる。
[u,v]
[v,-u]
これをJ'(u,v)と名付ければ、ガロア表現ρ:Gal(L/Q)→End((Z/5Z)^2)の像を具体的に決定できた。
すなわち、J(u,v), J'(u,v) [u^2+v^2は5の倍数でない]の形で書ける32個の行列全体である。

※注意
もちろん、25個の5等分点のうち、
どれをPとしてどれをQとするかという基底の取り方は恣意的である。
基底の取り方によって、表現行列は変化する。
しかし、その変化は共役的である。
基底の取り換えは、適当な行列Rによる X→ R^-1.X.R で表される。
この共役による違いを除いて、表現は一意的に定まる。
特に、基底の取り換えは固有値を保つことを指摘しておく。

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[2]と[3]は独立した内容となる。

[2] l進表現の紹介

ここで、射影極限という概念を使う必要がある。
射影極限とは何かを理解する例はwikipediaにもいくつかあるが、
「ある種の無限数列の集合」ととらえることができる。
１つの身近な例は、多項式の射影極限としての形式的冪級数である。

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射影極限に慣れていない人向けに詳しく説明する。
高々n次のXの多項式の集合を、k[X][n] とおく。
x^nの項を取り除くことで、写像（環準同型でもある）f:k[X][n]→k[X][n-1]を得る。
これの射影極限は、
無限数列 {g[0],g[1],g[2],g[3],g[4],....}、g[i]∈k[X][i] であって、
f(g[i]) = g[i-1] を満たすようなもの全体　と定義される。
要するに、g[i]より先の多項式g[j]はi次以下の部分が一致するという条件である。
結局、i次の係数をどんどん決めて行くということに他ならない。
それを形式的冪級数と同一視するのは難しくないと思う。

もう１つの例がp進整数Z_pである。
p^nで割った余り Z/p^iZ が k[X][i] の役割をする。
f: Z/p^iZ → Z/p^(i-1)Z は、p^(i-1)で割った余りをとる写像である。
同様の構成をする。（ここではi=1から始める。）
無限数列 {g[1],g[2],g[3],g[4],....} は
g[1]は pで割った余りを指定し、g[2]はp^2で割った余りを指定し、・・というもので
例えば {3(+5Z),13(+25Z),63(+125Z),...} が5進整数の元の1つ（の途中までの展開）である。
別のノート「有限体と局所体」

pが素数なら、これは零因子をもたない環となる。
・通常の整数nは、nをp^nで割った余りをとることで自然にp進整数に埋め込める。
例えば整数2 は {2(+5Z),2(+25Z),2(+125Z),...}
p^nで割った余りを0からp^n-1から選択する場合は負の整数は無限展開を要する。
例えば整数-2 は {3(+5Z),23(+25Z),123(+125)Z,...} という具合である
・もう１つ後で使いたいことが合って、分母がpと素な有理数n/mもp進整数に埋め込める。
n≡mx (mod p^i) となるxが一意的に存在するのでそれを採用していくのである。
上記の展開は、実は1/2の展開を意識したものである。
・p進整数の全商体がp進数Q_pである。Q_pは、Qを含む体、すなわちQの拡大体である。
Qp/Q は無限次拡大である。超越拡大でもある。（R/Qと同様）
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テイト加群は、次のような射影極限である。
p^i等分点の集合をE[p^i]として、f:E[p^i]→E[p^(i-1)] を p倍点をとる写像とする。
・・・
楕円曲線の2次元空間で考える代わりに、
まずは、1次元空間S=R/Zのテイト加群を考えることにする。
(整数差の違いを同一視した実数の集合)
5等分点はすなわち 0,1/5,2/5,3/5,4/5 の5つであり、
25等分点は、1/25 の 0〜24倍である。
例えば、7/25∈ E[p^2] にfを作用させると、7/5=2/5 に移る

無限数列 {g[1],g[2],g[3],g[4],....} は、
g[2]の5倍点がg[1]、g[3]の5倍点がg[2],... を満たすような列である。
これをR/Zで考えると、それぞれのg[i]は分母がp^iの分数であり、
g[i]の分子をp^(i-1)で割った余りがg[i-1]の分子に一致する列、と言える。
そうしておいて、分子をとりだすと、先のp進整数と同じ構造となっている。
つまり1次元のテイト加群は、p進整数Z_pと同一視できるというのである。

この同一視は、確かに加法の演算を保つものの、かなり変わった挙動をする。

例えば1/2 に相当する5進整数 {3(+5Z),13(+25Z),63(+125Z),...} に対して、
{3/5(+Z), 13/25(+Z), 63/125(+Z), ...} を対応させるのである。
その結果は"ほぼ"2等分点となることが分かる。

一方、5等分点はE[5]自体の元であるにも関わらず、テイト加群には含まれない。
g[1]=1/5 としてしまうと g[2]=1/25,6/25,11/25,16/25,21/25となり不適
g[2]=5/25 とするためには g[1]=0 を取る必要があるが
しかしそうすると g[3]が 5/125, 30/125, などと要求され結局1/5にならない
1/5を作ろうとすると g[1]=0, g[2]=0, g[3]=0, ... と
どこまでも0にする必要があるがどこまでやっても決して1/5に近づかない。

また、Z_pの1に相当するテイト加群の元を考えると、
{1/5,1/25,1/125,...}という列である。これは0に近づいて消えてしまう

[余談] Z_pの-1に相当するテイト加群の元を考えると
ある意味で 0.999... ≠1 という現象が起きていると捉えられるかもしれない

・1次元空間が分かれば、2次元空間の場合はその直積である。
楕円曲線のn等分点をZ/nZ×Z/nZと同一視すれば、
そのテイト加群は上記のR/Zの表示を使うと
{g[1],g[2],g[3],g[4],....}
それぞれのg[i]は2次元ベクトルで、両成分が分母がp^iの分数、
両成分それぞれについて、gたちは1次元のときの制約を受ける。
例えば
{(3/5,1/5),(13/25,1/25),(63/125,1/125),...} という具合であり
成分ごとにZ_pと同一視すれば容易に (Z_p)×(Z_p) と同一視できる。

・これによって[1]と同様にしてガロア群は、(Z_p)×(Z_p)への表現を持つ。
つまり、Z_pを成分とする2次元行列への準同型 ρ:Gal(Ω/K) → M_2(Z_p)が定まる。
習慣的に、pの代わりにlを使って、これをl進表現と呼ぶ。

このl進表現を定義通りに考察するには、
5等分点への作用、25等分点への作用・・・を無限に考える必要があり、
具体的な良い考察は私はまだ紹介できない。

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[3] mod p還元、そしてフロベニウス

mod p還元を行うことで、最初の楕円曲線を、F_p上で扱える。
フロベニウス写像：p乗写像は、標数pの体でのガロア群の元であった。
（局所体に持ち上げることができるのであるが、理解不十分で紹介しない）

p=13を例にすることにした。sage onlineの出番である：
標数13の体では、25個の5等分点は4次拡大で実現できることが分かった。
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k. = FiniteField(13^4); R. = PolynomialRing(k);
factor(y^8+12*y^6-26*y^4-52*y^2+1) // 解の1つをx座標として
x1=6*a^2+8*a+1; 
factor(x1^3+x-y^2) // より
y1=3*a^3+7*a^2+6*a+5; // 5等分点の1つ[x1,y1]を得る
x2=-x1; y2=5*y1 // i=√-1に相当する5∈F_13を使った

E = EllipticCurve(k,[1,0])
P1 = E( [x1,y1] )
P2 = E( [x2,y2] )
---------------
これを使うと5倍点は {a*P1+b*P2| a,b∈Z/5Z} と書けるわけである。
[x1^13,y1^13] や [x2^13,y2^13] がどれに移るのかが見ものである。
sageはkの元をaの一意的な4次以下の多項式として表示してくれるので具体的に調査可能である。

P1^13 = 2*P1 + 3*P2 
P2^13 = 2*P1 + 2*P2 
が分かった。

[2019/3/11 追記：上記の記述はたぶん適切でない。
L/Kがアーベル拡大でない場合は、pの上にあるLの素イデアルqの選択に依存する。
ということを理解していなかった。
このフロベニウスは共役の取り方に依存するはずである。
具体的には「i=√-1に相当する5∈F_13を使った」という選択に依存していると思う。
違う選択をすると、共役な結果になる。しかし、以下で使うトレースは変わらない]
--------------
そこで、この作用を次のような2次元行列で表現できる。
[2,2]
[3,2]
（ただし、5で割った余りの情報しかないことに注意する）
そのトレースは4となる。（ただしあくまで5で割った余り）

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もう１つ、9等分点の考察を試みた。12次拡大を要することが分かった。
x1=2*a^10 + 2*a^9 + 2*a^8 + 5*a^7 + 2*a^6 + 9*a^5 + 3*a^4 + 9*a^3 + a^2 + 11*a + 3
y1=9*a^11 + 5*a^10 + 11*a^9 + a^7 + 6*a^6 + 10*a^5 + 3*a^4 + 11*a^3 + 11*a + 2
aの最小多項式は y^12 + y^8 + 5*y^7 + 8*y^6 + 11*y^5 + 3*y^4 + y^3 + y^2 + 4*y + 2
P1=[x1,y1], P2=[-x1,5y1]

13乗が一致するものを探すのであるが、ちょっと心当たりがあって：
P1^13 = -3*P1-2*P1
P2^13 = 2*P1-3*P2
の関係が成り立つことが確認できた。

表現行列は
[-3,2]
[-2,-3]
となる。

ここには虚数乗法が重要な働きをしている。それを紹介する。
点[x,y] から [-x,iy]に移す写像を形式的に P -> IP とおける。
（この写像は2回続けて行うと-1倍写像になる）
この表記は、微分形式のようなものを使ってより正当化できるのを、
本格的な楕円曲線の数論について書かれた教材で読んだことがある。
標数13のときには、形式的にiの代わりに5か8を使うことができる。

そうすると実は標数13の体では、常にP^13 = (-3-2I)Pが成り立つのである。
（実際に有理式を展開すると差が13で割り切れることが確認できた。）
虚数乗法を持つ楕円曲線に特有の著しい性質である。
そういうわけで、上記の表現行列は任意のn等分点に対して成り立つのである。
つまりp=13のフロベニウス写像は固有値が-3±2iであって、トレースが-6である。

＊フロベニウス写像のトレースはいくつかの驚く結び付きを持つ。

・フロベニウス写像のトレースはF_p点の個数を数えて知ることができる
http://searial.web.fc2.com/tools/fpdaen.html
p=13, y=x^3+x でF_p点は無限遠点を入れて20個である
関係式 T = 1+13-20 より トレースは確かに-6である。

・フロベニウス写像のトレースは然るべきモジュラー形式の係数に現れることも知られている
詳細は理解できていないが、データベースで検索し閲覧できる：
http://www.lmfdb.org/EllipticCurve/Q/64/a/4
q+2q^5-3q^9-6q^13+2q^17+... と展開されていてq^13の係数は確かに-6である。

・話の流れに直接は関係がないが今回取り上げた楕円曲線は、
多項式の素因数集合(3/3)　で登場したレムニスケートのn等分点とも関係がある。

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参考文献

・http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/su2.pdf
「数論幾何におけるガロア表現」
今回紹介した内容は、3ページの「例1」のたった2文程度で済まされてしまう。
かなり高い視点からの記述であるが、雰囲気だけでも興味深い。
最近流行りの素数大富豪ローカルルール「無限素点」も登場する。

日本語で書かれた手頃な資料はなかなかなく、
だいたい検索すると同じようなものに出会う
上記もそうやって何度も出会ったものの１つである
代わりに英語で検索すると、より手頃なものに出会ったりする

・http://algant.eu/documents/theses/oguz.pdf
「Galois Representations Attached to Elliptic Curves」
これから読みたいと思っている。[追記：そういえば結局読み進めてないや]

・http://www1.kcn.ne.jp/~mkamei/math/130319_elliptic_function.pdf
レムニスケートと楕円曲線の関係が説明されている。

楕円曲線についての冒頭に書いたような内容を得るための資料は多くあると思うが
J.H. Silverman "Arithmetic of Elliptic Curves"
J.H. Silverman "Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves"
が古典的に有名のようである。個人的には
D. Husemoller "Elliptic Curves"
が具体的な例が多くて良かった。