不等式
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14147738429

2014年4月ぐらいに経験的に「最近はまってる実用的でない方法」として
「不等式の問題は恒等式を指摘することで示すことができる」
という精神でいくつか回答したことがありました。

「x^2-y^2+xyを2x^2+3y^2=1のもとで最大値はいくつ?」

x^2-y^2+xy= (sqrt(31)+1)/12*(2x^2+3y^2) - (sqrt(31)-5)/6*(x-(sqrt(31)+5)/2*y)^2
で示せてるかな?
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・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10126911610
x^2+y^2+z^2=1・・・@
x+y+z=1・・・A
をみたすとする。
x>y>zのとき、x+yのとりうる値の範囲

{3(x+y)-2} = (x-z)+(y-z) +2(x+y+z-1) が正であることを指摘し
{3(x+y)-2}^2 = 1+3(x-z)(y-z)+(3/2){(x^2+y^2+z^2-1)+(x+y+z-1)(5x+5y-3z-3)} = 1+3(x-z)(y-z) > 1
{3(x+y)-2}^2 = 4-3(x-y)^2+6{(x^2+y^2+z^2-1)+(x+y+z-1)(x+y-z-1)} = 4-3(x-y)^2 < 4
より 1 < 3(x+y)-2 < 2 すなわち 1 < x+y < 4/3

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・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10127325305
a,b,cを正の実数としa+b+c=1が成り立つとき
aab+bbc+cca≦4/27を示せ

aab+bbc+cca = (4/27)(a+b+c)^3 - {a*(2a-4b-c)^2+b*(2b-4c-a)^2+c*(2c-4a-b)^2}/27
"(理論的な方法論は私も未だ知らず興味がある所です)"

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・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14125612489
X=a+b+c
Y=a^2+b^2+c^2
Z=a^3+b^3+c^3
X=√2,Y=6 のとき Zが取り得る範囲を求める

D={(a-b)(b-c)(c-a)}^2 とおくと次の恒等式が成り立つ:
D = -3{Z - (X/9)(9Y-2X^2)}^2 + (1/54)(3Y-X^2)^3

X=√2, Y=6 を代入すると
D = -3{Z-(50/9)√2}^2 + 2048/27

D≧0 という2次不等式を解くと 2√2≦Z≦(82/9)√2
(ただし等号成立検討には追加議論が必要)

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・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13127376948
x^2+xy^2+xyz^2>=4xyz-4

(左辺)-(右辺) = (x-2)^2 + x(y-2)^2 + xy(z-2)^2

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一変数の場合を考察したものが:
・http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q11128507276

【問題】次の多項式を有理数係数多項式の平方の和で表してください
(1) x^4+x+1/4
(2) x^6-3x^4+2x^3+8x^2-5x+3/4

(1)は、x^4 +x +1/2 = (1/4)(2x^2 ー1)^2 +(x + 1/2)^2
(2)は・・
ヒルベルトによると1変数多項式が正値ならこの課題は常に可能とのことですが、
その具体的な構成にはちょっと困難があるようです。
私がcomputer-assistedに構成した式は以下のものです:
(x^3-11/5*x+7/11)^2
+7/5*(x^2+20/77*x-7/44)^2
+1189528/13552*(x/5-8827/148691)^2
+393047/1439328880
実数係数で多項式の和にすることは複素数解を数値的に求めることで可能なので
係数を近い有理数で代用し、調整する感じで構成したものです

ヒルベルトの第17問題 という話題が結構関係あるみたいでした。

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http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14147394374
a+b+c+d+e=8,a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,(a,b,c,d,e∈R)のもとでMax(e)=?

恒等式
3(5e-(a+b+c+d+e))^2 = 60(a^2+b^2+c^2+d^2+e^2)-12(a+b+c+d+e)^2-30(a-b)^2-10(a+b-2c)^2-5(a+b+c-3d)^2
が成り立ち 条件式を代入して
3(5e-8)^2 = 60*16-12*8^2-30(a-b)^2-10(a+b-2c)^2-5(a+b+c-3d)^2≧ 192
より
-8≦5e-8≦8


一番最近のもの: https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14174390739 「x,y>-1 のとき x^2y^2+x^3+y^3+2x^2+2y^2-3xy≧0 を証明してください!」 左辺 = ( (x+1)*(y+1)*(xy+x+y)^2 + ( (x+1)*(y+1)*(x+y+3) + (x+1)*(x+2) + (y+1)*(y+2) ) * (x-y)^2 ) / ( (x+2)*(y+2) ) 各項は正 ------------ 裏でやった試行錯誤 x=-1+X, y=-1+Y とおいて考察 適当に Y(X-Y)^2 を引くとXでくくれるので残りの中身をgとおくと g = (x-1)(y-1)y + (x-y)^2 g = -(x-1)(y-1)(xy+x+1) + (xy-1)^2 を発見したので加減法で g = {(xy+x+1)(x-y)^2 + y(xy-1)^2}/{(x+1)(y+1)} 整理しつつ復元する -------------
ヒルベルトの第17問題に対する私の認識: ・正定値1変数多項式は、いくつかの多項式の平方の和に書ける ・正定値多変数多項式では、いくつかの多項式の平方の和に書けないものがある(反例がある) ・正定値多変数多項式は、いくつかの有理式の平方の和には書ける しかしそれを具体的に得る方法は分かっていない *問題文に「x>0のとき」と限定されている場合はx=X^2とおけば限定がない場合に帰着する

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