https://en.wikipedia.org/wiki/Sheaf_(mathematics)
の「The etale space of a sheaf」の解説の試みです
分かっている人にはまどろっこしいと思う

まず層に出会った人にぜひ伝えたいことには
層 とは sheaf の訳ですが
sheaf って実は　藁束　という意味なのです
これを認識しておくと関連する概念：
断面あるいは切断(section)、茎(stalk)、芽(germ)を
より認識しやすいと思います

「The etale space of a sheaf」は層空間あるいはエタール空間と訳されるようです
厄介なことにこのエタールは、上記ページに書いてあるように、
「エタールコホモロジー」のエタールとは別の単語です
----
層の例として典型的だと思う例を使って様子を描写します

通常の実軸に通常の位相を入れたものをXとして
Xの開集合Uに対してU上の連続関数の集合をF(U)とする
FはX上の層をなす
（層の定義は読者は既にどこかで出会ったものとして省略します）

次に、(x=pにおける)茎とは(x=pにおける)芽の集合で、
(x=pにおける)芽とは(x=pにおける)茎の元である

層の概念を得るにはこれらを正しく認識する必要があります
これは他の言葉ではなかなかうまく表せないのです

今回の層を使って芽の定義を書くと x=p における芽 とは
p∈Xを含む開集合での連続関数の集合を、
p∈Xを含むある開集合で一致する時に同値
とみなす同値関係で割った商集合　です

茎の元を記述指定するには、
例えば「x=0において連続関数f(x)=1-x^2で代表される芽」で指定できます
これは「x=0において連続関数g(x)=|1-x^2|で代表される芽」とは同じ元ですが
「x=0において連続関数h(x)=cosxで代表される芽」とは別の元です
解析関数に限れば、テイラー展開が一致すれば同じ芽と言えると思います

そうやって点0∈X上に茎が生えています
Xの他の各点の上に同様に茎が生えています
その全体が「層空間」（etale space）Hです
<img src="sou.png">
層空間に位相を定めます
開集合U=(-2,2)でのFの断面（切断）とはU上での連続関数です
f(x),g(x),h(x)の定義域をUに制限したものは断面F(U)の元です

そこで、
S = {x=pにおいてf(x)=1-x^2で代表される芽 | p∈U}
は層空間Hの部分集合をなします。
このイメージを図に紫色で描いてみました

p∈Xにおける茎F_pもHの部分集合ですが、
例えばSとF_0の共通集合は、
「x=0において連続関数f(x)=1-x^2で代表される芽」という1点
という仕組みです

同様に
S2 = {x=pにおいてh(x)=cosxで代表される芽 | p∈U}
を図に水色で書いてみました。

SとS2は、元の関数をみるとx=0で交わってますが、
層空間Hの部分集合としては交わらないことを指摘しておきます

このようにして「Xの開集合U上のFの断面F(U)から得られるHの部分集合」が
「Hの開集合の基」である、と宣言することでHに位相を入れることができます
これが層空間の位相です

Hの部分集合の集合　を　開集合の基　と宣言するとは、次の同値の宣言です
Hの部分集合Uが開集合である　⇔　Uはいくつか(無限個でも良い)の「開集合の基」の合併である
---------
似た概念に、ファイバー束(fiber bundle)があります
https://math.stackexchange.com/questions/26542/what-are-the-differences-between-a-fiber-bundle-and-a-sheaf
似ている部分と違いを観察したいと思います

（連続関数のなす層空間を、誤って下記の例のように認識しないように、という意図を少し込めました）

ファイバー束では、射影と呼ばれる連続写像π：Y→X が本質的です。
（これを定めればYはX上のファイバー束と言える：
「HがX上の層空間である」というには対応する層Fを見つける必要があるのに比べて
これはとても簡単な条件である）

簡単なファイバー束の例は、上記と同じ底空間Xに対する、xy平面Yです
xy平面上の点 (x,y)からx成分を取り出す写像π:Y→Xを定めれば自然に
YをX上のファイバー束とみなすことができます

ここで、Yの位相は、πが連続写像になるように定まっていれば良いです
例えば通常の平面の距離から定まる位相を入れることにします
（円盤や正方形の内部は開集合であるが、線分y=x[-1<x<1]は開集合ではない）

点x=0での束(fiber)とは、集合としてはつまりy軸です
開集合U=(-2,2)での断面とは、
UからYへの連続写像 s:U→Y であって
π(s(x))=x が成り立つようなものと定義されますが

結局、Uでの断面とは、Uで定義された連続関数f(x)と対応します。
なぜなら s は x∈U⊂X を (x,f(x))∈Y に送るような形をしている必要があるからです

こうして考察されるYは、層空間と類似しています
実際、「層空間はファイバー束としてみなせます」
（HがYの役割をします）
しかし上記のYを層空間とみなすことはできません。
線分y=x[-1<x<1]は、断面の形をしていますが、Yの位相では開集合ではないからです

Yに別の位相を入れれば、層空間とみなせます
というより、別の層から層空間を構成し、集合としてYに等しくなるようにできます
例えば「定数層」と呼ばれる層です。ここでは実数がなす定数層Gを考えます。
定数層は、定数というより「局所定数関数がなす層」が本質的な描写だと思います
例えば U=(-1,1)∪(3,4)に対して、G(U)は
「f(x)=a (-1<x<1), f(x)=b (3<x<4)」という形の関数全体からなる集合です
2つの断面f(x),g(x)で代表されるx=pでの芽は、この場合は単にf(p)=g(p)であれば同じ芽です
なので点pでの芽の集合は、実数と対応します
従って層空間は、その実数をy成分と対応させれば、xy平面と集合として等しいです
この層空間としての位相は次のようなやや妙なものになります：
線分y=1[-1<x<1]は開集合
線分y=x[-1<x<1]は開集合ではない
長方形 -1<x<1かつ-1≦y≦1 は開集合
長方形 -1≦x≦1 かつ -1<y<1 は開集合ではない
等・・