座標環のUFD性と、代数曲線因子を結びつける視点
多項式環の剰余環A=C[X,Y]/(X^2+Y^3-1)を考えます。
Yの剰余類をy∈Aと表すと、yは既約元であることを示してください。
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12190315692
に書いてある、「取り消されてしまった」内容です。
かなり「地に足がついた」説明です。
議論は大きく前半・後半に分けました。
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[議論前半]
直線Y=0は、曲線 X^2+Y^3-1=0 と 2点(X,Y)=(±1,0) で接さずに交わる（「1位の零点」）
Y ≡ FG (mod X^2+Y^3-1) と仮定する。
このとき
・F,Gは(±1,0)以外の点で 曲線 X^2+Y^3-1=0 と交わってはいけない
・F,Gは(±1,0)で 曲線 X^2+Y^3-1=0 と接してはいけない
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[なぜなら]
・もしF=0で定義される曲線が、点pで曲線X^2+Y^3-1=0と交わるなら、
FG=0で定義される曲線も、点pで曲線X^2+Y^3-1=0と交わる
・Y≡FG (mod X^2+Y^3-1=0) のとき YとFGはX^2+Y^3-1=0と同じ交点を持つ。
・もしFが点(1,0)で接するなら、FGも点(1,0)で接する
・Y≡FG (mod X^2+Y^3-1=0) でFGが点(1,0)で接するならYも点(1,0)で接する。
（しかし実際には接しない）
・ここで「接する」の意味について今回は深入りしないが、
点(1,0)において Y=0 かつ ∂F/∂Y = 0、と考えれば良い。
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従って、可能性は以下の2つである：
・Fは点(1,0)でのみ曲線と交わり、Gは点(0,1)でのみ曲線と交わる
・Fは曲線とは交わらず、Gは点(±1,0)で曲線と交わる
どちらの場合も交わるところで接してはいけない。
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[議論後半]
上記を満たす式Fについて考える。
X^2≡1-Y^3 (mod X^2+Y^3-1) により、Xの次数を下げることで、
F=F(X,Y)はXについて高々1次式の場合だけを考えれば十分である。
従って、F(X,Y) = a(Y)+b(Y)*X とおく。
F(X,Y)=0 と曲線 X^2+Y^3-1=0 の交点が、Y=0のみだと要求する。
Xを消去した式を考えれば次のようにおける：
a(Y)^2 - b(Y)^2*(1-Y^3) = Y^k (k≧1)・・・★
a(Y)がm次式、b(Y)がn次式とすると、上記の式は、
2m次式 と (2n+3)次式 の和なので、(多項式「0」は -∞次式 と扱う)
m＝n＝-∞の場合を除いて、2つの項の最高次の次数は一致しないので、
式全体の次数は、2つの項のうち次数が大きい方の次数に一致する
特に、1次式になり得ないのでk≧2 である。
従って★の左辺のY=0での微分係数は0であることから次が成り立つ：
2*a(0)*a'(0) - 2*b(0)*b'(0) = 0・・・①
Fが点(1,0)で曲線と交わるという条件は、
F(1,0)=a(0)+b(0)=0・・・②
Fが点(1,0)で曲線と接しないと言う条件は
∂F/∂Y[(X,Y)=(1,0)] = a'(0)+b'(0)≠0・・・③
②より b(0)=-a(0)を①に代入すると
(a'(0)+b'(0))*a(0) = 0
③より a(0)=0が要求される
このとき②より a(0)=b(0)=0
そうすると F(-1,0) = a(0)-b(0) も0になってしまう
つまり以下の欲しかった結果を得る
「F(X,Y)=0と曲線との交点がY=0上にしかなく、
点(1,0)で曲線に交わるが接しないとすると、
必然的に点(-1,0)でも交わってしまう」
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これで１つ目の可能性が不可能だと分かった。
2つ目の可能性について
「Fが曲線と交わらないならば、Fは定数である」を確認する必要がある
先と同様に、交点のY座標を求める方程式を考える：
a(Y)^2 - b(Y)^2*(1-Y^3) = 0
Cは代数閉体だから、これが解を持たないのは、左辺が定数の場合だけである
a(Y)がm次式、b(Y)がn次式とすると
先にした考察から、 m=0, n=-∞の場合しか、左辺を定数にできない
そのとき、F(X,Y)=a(Y)+b(Y)*X は定数である
*参考
種数0の曲線では、違うことが起きる。
C[X,Y]/(X^2+Y^2-1)では、Xに対応する剰余類は、既約元ではない。
次のように分解される。
X ≡ (X-iY+i)(X+iY+i) / 2i
右辺の因子は、それぞれ(0,±1)のみで1位の零点をとる関数である。
この曲線では、このように、与えられた点のみで1位の零点をとる関数が存在する。
また、上記の2つ目の可能性の議論に対比して、
F=0が曲線と交わらない定数でない多項式Fが存在する：
X+Yi と X-Yi である。
（無限遠点でのみ交わると理解することができる。）
座標環C[X,Y]/(X^2+Y^2-1)においてはこれらは可逆元である
(これについてはhttps://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12189714997で紹介した)
2018/5
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