１

(初回)

[ここの問題は§18の問題を一部持ってきたものだった。]
とりあえずプリントの内容は飛ばして計算へ。
教科書的手順つまりマニュアルを示しておく。

・分数関数の積分の手順
(1)分子の方が次数が小さくなるようにする。
[分子Pの次数≧分母Qの次数の時、
　P=AQ+Bと割ってP/Q=A+B/Q]
(2)分母を因数分解して部分分数分解をする。
　現れる項はそれぞれ以下のように処理される(k≧2);
　(a) 1/(x-a) → log|x-a|
　(b) 1/(x-a)^k → 定数/(x-a)^k-1
　(c) (px+q)/{(x-a)²+b²} → 分子を(x-a)で割って(c1)･(c2)へ
　　(c1) (x-a)/{(x-a)²+b²} → (1/2)･log(分母)
　　(c2) 1/{(x-a)²+b²} → (1/b)･Arctan{(x-a)/b}
　(d) (px+q)/{(x-a)²+b²}^k → (c)と同様にする
　　(d1) (x-a)/{(x-a)²+b²}^k → 定数/分母^k-1
　　(d2) 1/{(x-a)²+b²}^k → 面倒。問題Ｃの通り漸化式から。
　部分分数分解の計算は少し面倒である。
　係数が有理数の範囲ならスクリプトを作ることに成功したのでどうぞ。

(くわしい仕様は別ページで:自動部分分数分解)

・無理関数f(x)=g(x,√ax²+bx+c)の積分の手順
√ごと置換すれば有利関数の積分に帰着されたはず...
というのは間違っていて√(ax²+bx+c)-(√a)x=tと置換。

・f(x)=g(sinx,cosx)の積分
t=tan(x/2)とおけば有利関数の積分に帰着
　sinx=2t/(1+t²)
　cosx=(1-t²)/(1+t²)
　dx/dt=2/(1+t²)
f(x)=g(sin²x,cos²x)の場合はt=tanxとおいてもできる
　sinx=t²/(1+t²)
　cosx=1/(1+t²)
　dx/dt=1/(1+t²)

問題B [f(x)を積分せよ.(5)以外は自然な定義域なので省略する.]

問題C

2009/10/9
10/22無理関数の所を修正

戻る