６

cは定数。断りなく改めて置き直される。

微分方程式を少し

　概要

問題Dでは1階の線形、非同次の微分方程式を解く。
問題Eでは変数分離型の微分方程式を解く。
問題Fでは与えられた関数が解となる2階の微分方程式を作る。

　原理

[問題Dに関して]
微分方程式A y'+p(x)y=q(x) がある。
微分方程式B y'+p(x)y=0 を考える。、
p(x)の原始関数を１つとってP(x)とおく。すると、
微分方程式Bの解は、y=ce^-P(x)である。
そこで、y1,y2が微分方程式Aを満たしている時、差y1-y2は方程式Bを満たす。
そういう考察で微分方程式Aの解は "(1つの解)+ce^-P(x)" と書ける。
(以上は2階以上の微分方程式においても使える。)

微分方程式Aの１つの解を見つけるのに、次の方法がある:
上のP(x)を使う。e^P(x)q(x)の原始関数を１つとってQ(x)とおく。
e^-P(x)Q(x)は方程式を満たす。
別の方法または偶然によって１つの解がみつかれば、この計算をする必要はない。

より直感的に、e^P(x)y=zとおいてz'を計算してみるのが良いかもしれない。
まもなくしてz'=e^P(x)q(x)を得るはずである。ここ結構大切な所。

公式を書いてしまうとy=e^-P(x)Q(x)+ce^-P(x)

[問題Eに関して]
微分方程式 y'=f(x)g(y) を扱う。
g(y)≠0が明らかな時は気楽であるがそうでない時は、時に注意がいる。
(例えば講義の方の練習問題9.3の時のように)

g(y)≠0と仮定すれば1/g(y)及びf(x)を積分してG(y)とF(x)を得て、G(y)=F(x)+c
yが一定となる(y'もg(y)も常に0となる)特異解はしばしばc→±∞の極限で表される。

[問題Fに関して]
解となる関数は定数a,bを持つ。
y,y',y"を比較してうまく組み合わせてa,bをうまく消去した式を作れば良い。

(1)は試行でうまくいくかもしれない。(2)は難しいだろう。そういう場合、
定数について解く(a=...あるいはb=...の形にする)→そして両辺を微分する
という手順により定数を消去することができる。計算は大変。

与えられた関数が解となれば十分で、他の関数が解になっていても構わないよ。

　計算例

[問題D]
いろいろ書いてみる。記号は上の通り。定義域は自然に。

普通に解いて(4)で符号が難しければ、nの偶奇で別々に解いて後でまとめるのも良い。

[問題E]
(2)は線形微分方程式でもある。(1),(3)はg(y)が常に正なので気楽。

(3)や(4)の記述は厳密なものではない。Arctan y (主値)の場合その値は-π/2とπ/2の間にある。
それを避けたarctan y は多価関数。arctanは主値でなくても導関数は同じになる。
Arcsinの場合、主値に統一しないと導関数は符号が定まらない。くわしくは下で。

(4)はy=±3が定数関数である解。また、一般解はy=0を通らない。
上ではc→±∞の時に残りの特異解が現れる。
1/cやtan cで置き直して整理すると様子が変わる。

[問題F]
(1)y=sin(ax+b)
(ax+)bについて解く。arcsin y = ax+b
両辺をxで微分するとbを消去することができる。
±y'/√1-y² = a

上の式を再び両辺をxで微分するとaが消えて求める微分方程式を得る。


(2)y=e^x(a+ax+bx²)


(1)の最初の方の式の±の意味については少しややこしい。すぐに消えるのだが。
　z=arcsin yのグラフを思い浮かべる。sinxを横から見た、つまり縦の波。
　１つのyに対してzが多く対応する。だけでなく、傾きdz/dyも正負２つ取り得る。
　(一方z=arctan yのグラフではdz/dyは１つに定まるのが問題Eの(3)と関連する。)
　それらのグラフを示しておく。例えばy=0でのグラフの傾きを見ると良い。

2009/12/3

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