８

・広義積分は原始関数が両端で収束すれば積分値は自然に計算できる。
・正定数A,BがあってAg(x)＜f(x)＜Bg(x)ならば、fとgの広義積分可能性は同値。
・0≦A(x)≦B(x)かつB(x)が広義積分可能ならば、A(x)も広義積分可能。

§19.広義積分続き

問題(19.10) 積分せよ。[(3)(4)は平方完成して置換する方針を使った]
$\\\mbox{(1)}\int^{+\infty}_2\frac{1}{x(x^2-1)}dx \\=\int^{+\infty}_2\left(-\frac{1/2}{x-1}+\frac{1/2}{x+1}-\frac{1}{x}\right)dx \\=\left[\frac{1}{2}\log|x^2-1|-\log x \right]^{+\infty}_2 \\=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\log{\biggr|1-\frac{1}{x^2}\biggr| +\log 2=\log2$
$\\\mbox{(2)}\int^{+\infty}_0\frac{x}{x^3+1}dx \\=\int^{+\infty}_0\left(\frac{-1/3}{x+1}+\frac{x/3+1/3}{x^2-x+1}\right)dx \\=\int^{+\infty}_0\left(\frac{-1/3}{x+1}+\frac{(2x-1)/6}{x^2-x+1} +\frac{1/2}{(x-1/2)^2+3/4}\right)dx \\=\left[\frac{1}{6}\log\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}/2} \mbox{Arctan}\frac{x-1/2}/{\sqrt{3}/2}\right]^{+\infty}_0 \\=\frac{1}{6}(0-0)+\frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{\pi}{2}-\frac{\-pi}{6}) =\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$
$\\\mbox{(3)}\int^{+\infty}_1\frac{1}{x\sqrt{x^2-x+1}}dx=I$
$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$ 　とおく。
$\\I=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{(1/2+\sqrt{3}/2\;\tan\theta)\cdot\sqrt{3}/2\cos\theta} \cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{1}{\cos^2\theta}d\theta \\=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{1/2\;\cos\theta\;+\sqrt{3}/2\;\sin\theta}d\theta \\=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\frac{1}{\sin(\theta+\pi/6)}d\theta$
分母分子にsinをかけてcosをcと置換すれば(略)、
$\\I=\left[\frac{1}{2}\log\frac{1-c}{1+c}\right]^{-1/2}_{1/2}=2\log 3$
$\\\mbox{(4)}\int_a^b\sqrt{\frac{x-a}{b-x}} \\=\int_a^b\frac{x-a}{\sqrt{(\frac{a-b}{2})^2-(x-\frac{a+b}{2})^2}}dx=I$
$x-\frac{a+b}{2}=\frac{a-b}{2}\sin\theta$ 　とおく。
$I=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{\frac{a+b}{2}+\frac{a-b}{2}\sin\theta-a} {\frac{a-b}{2}\cos\theta}\cdot\frac{a-b}{2}\cos\theta d\theta \\=\frac{a-b}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin\theta+1)d\theta \\=(a-b)(\pi+1/2)$

問題(19.11) 積分せよ。
$\\\mbox{(1)}\int_1^{+\infty}\frac{1}{x\sqrt{x-1}} \\=\int_0^{+\infty}\frac{1}{(u^2+1)u}\cdot 2udu\;\;[u=\sqrt{x-1}] \\=[2\mbox{Arctan}u]_0^{+\infty}=\pi$
$\\\mbox{(2)}\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x(x+1)}}dx \\=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(x+1/2)^2-(1/2)^2}}dx \\=[\;\log|(x+1/2)+\sqrt{(x+1/2)^2-(1/2)^2}|\;]_0^1 \\=\log(\frac{3}{2}+\sqrt{2})-\log\frac{1}{2}=\log(3+2\sqrt{2})=2\log(\sqrt{2}+1)$
$\\\mbox{(3)}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x}{1+e^{2x}}dx \\=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{(e^x+e^{-x})^2}dx \\=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^x+e^{-x}}{(e^x-e^{-x})^2+4}dx \\=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{u^2+4}dx\;\;[u=e^x-e^{-x}] \\=[\frac{1}{2}\mbox{Arctan}\frac{u}{2}]^{+\infty}_{-\infty} \\=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$
$\\\mbox{(4)}\int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=I_n$
（nは自然数である）部分積分を使って漸化式。[参考:問題(19.6)]
$\\I_n=[x^n(-e^{-x})]^{+\infty}_0-\int_0^{+\infty}nx^{n-1}(-e^{-x})dx=nI_{n-1}$
I₀=1をすぐ得られるから結局I_n=n!である。

問題(19.12) 　ベータ関数B(p,q)について次の等式を示せ。p,qは自然数。
ベータ関数B(p,q)とは、 $\int_0^1x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$
$\\\mbox{(1)}B(p,q)=B(q,p)$
y=1-xと置換すれば"dx/dyの-1"と"積分区間の反転"が相殺することになる。
$\\\mbox{(2)}B(p,q)=\frac{q}{p}B(p+1,q)$
部分積分による。
$\\\int_0^1x^{p-1}(1-x)^qdx \\=\left[\frac{1}{p}x^p(1-x)^q\right]_0^1-\int_0^1\frac{q}{p}x^p(1-x)^{q-1}dx$
$\\\mbox{(3)}B(p,q)=2\int_0^{\pi/2}(\sin\theta)^{2p-1}(\cos\theta)^{2q-1}d\theta \\\cdots x=\sin^2\theta,\;2\sin\theta\cos\theta=dx/d\theta$
$\\\mbox{(4)}B(p,q)=\int_0^{+\infty}\frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}}dt \\\cdots \frac{t}{1+t}=x,\;\frac{1}{(1+t)^2}=\frac{dx}{dt}$

問題(19.13) pは実数。
広義積分 $\int_0^{\pi/2}(\tan x)^pdx$ は、|p|<1の時収束し|p|≧1の時発散することを示せ。また、p=1/2のときの積分値を計算せよ。
(前半) tan(π/2-x)=1/tanxであるから積分区間を反転すると被積分関数が逆数になる。[要はI(p)=I(-p)]
そういうわけでp<0の時を考えれば十分。(p=0は自明)
x=0付近で関数は有界でなく、0からπ/4での積分を調べれば十分。
この範囲で、x＜tanx＜4x/πであるから、(下に凸から)
(4/π)^p x^p＜(tanx)^p＜x^p (pが負なので反転)
問題(19.2)のように、これより(tanx)^pのかわりにx^pを考えればよい。
この関数の広義積分は例によって、
-1＜pの時は原始関数が収束するので計算できる。
p≦-1の時は、p=-1の時と比較して発散が言える。
従って以上をまとめれば結論を得る。

(後半) $\\\int_0^{\pi/2}\sqrt{\tan x}dx\;\;[\t=\sqrt{\tan x},\;\frac{dx}{dt}=\frac{2t}{1+t^4}]$
$\\=\int_0^{+\infty}\frac{2t^2}{1+t^4}dt \\=\int_0^{+\infty}\left(\frac{1/\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}t+t^2}-\frac{1/\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}t+t^2}\right)dt \\=[\;\mbox{Arctan}(t-1/\sqrt{2})-\mbox{Arctan}(t+\sqrt{2})\;]_0^{+\infty} \\=(\pi/2+\pi/4)-(\pi/2-\pi/4)=\pi/2$

問題(19.14) I=(a,b)は区間。f,gは連続関数。
(1)あるいは(2)が成り立つ時、fgがIで広義積分可能であることを示せ。

(1)f^2,g^2がIで広義積分可能である。
各xに対して、|fg|≦f^2,|fg|≦g^2のいずれかが成り立つ。|fg|≦f^2+g^2。
右辺のIでの広義積分は条件より収束する。従って|fg|,よってfgの積分も収束する。
(2)|f|はIで広義積分可能かつgはIで有界
|g|の最大値をAとおくと|fg|≦A|f|であり、右辺の積分が収束するから左辺のも収束する。

問題(19.15) I=(a,b)は区間。fは連続、gはC1級。
f及び|g'|がIで広義積分可能ならば、fgもIで広義積分可能であることを示せ。

fの不定積分をFとかく。f,g'が広義積分可能なので、F及びgはx→a+0やx→b-0で収束する。
(Fg)'-Fg'=fgである。よってFgはfg+Fg'の原始関数である。
Fgはx→a+0やx→b-0で収束する。従ってfg+Fg'は広義積分可能である。
またFは端点で収束し連続なので有界、よってFg'が広義積分可能である。
これらからfgが広義積分可能であることが従う。

問題(19.16) I=[a,b)は区間。f,gは連続、fの原始関数FはIで有界。
(1)あるいは(2)が成り立つ時、fgはIで広義積分可能であることを示せ。
また、その結果を用いて、次の広義積分が収束することを導け：
　 $\int_a^{+\infty}x^{-\alpha}\sinxdx\;\;(a,\alpha>0)$

(前半)
(1)gはI上広義単調減少かつg(x)→0 (x→b-0)
(2)gはI上C1級 (ここから先はたぶん書かれません。)

2009/12/3

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