11/10 5(1)間違ってた。
1.(1)
を微分せよ.通分のタイミングが良いとスムーズだと思う.
(2)
のx→0における極限を求めよ.ランダウの記号を使って議論する.何次まで展開するかを判断するのは難しい.
この問題は結果的に3次の展開で解けるので3次まで展開した計算を示す.
(3)曲面
の
における接平面の方程式を求め、(a) x＋(b) y＋(c) z＝πの形で答えよ.
接平面を求めるにはその点における
の値を計算すれば良い.
2.(1)集合Aが開集合であることを表す文はどれか.
また集合Aが閉集合であることを表す文はどれか.
(選択肢が再現できないので4つの空欄についていずれかを選択せよ)
"集合Aに(a)(b)、その点を中心とする(c)(d)ものが存在する"
(a)属する / 属さない
(b)任意の点について / 点であって
(c)任意の開円盤が / 開円盤であって
(d)Aに含まれる / Aと交わる / Aと交わらない
Aが開集合:Aのすべての元がAの内点
Aが閉集合:A~(Aの補集合)のすべての元がAの外点
という考えによる.
すなわち,
Aが開集合:"集合Aに(属する)(任意の点について)、その点を中心とする(開円盤であって)(Aに含まれる)ものが存在する"
Aが閉集合:"集合Aに(属さない)(任意の点について)、その点を中心とする(開円盤であって)(Aと交わらない)ものが存在する"
(2)関数
を
によって変数変換する.を
で表す式を1つずつ選択せよ.
連鎖律による.２つの考え方ができると思う.
3.f(x)はx∈[0,1]で定義された連続関数で値域が(0,1)に含まれるという.
f(x)=xとなるx∈(0,1)が存在することを証明せよ.(記述)
g(x)=f(x)-xとおけば中間値の定理が使える.
g(x)も[0,1]で連続であり,g(0)=f(0)≧0,g(1)=f(0)-1≦0だから,
g(x)=0,すなわちf(x)=xとなるxが(0,1)に存在する.
4.f(x,y)=x6－6xy＋y6について,
(1)停留点を全て求めよ.
(2)Hesse行列を計算することにより,各停留点において,
f(x,y)が極大値をとるか,極小値を取るか,極値を取らないかを判定せよ.(記述)
(1)偏導関数fx(x,y)=6x5-6y及びfy(x,y)=6x-6y5を共に0にする実数の組(x,y)を問われている.
x=x25を得たりして(x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1)を得る.
5.(次の文章を読んで後の問いに答えよ.)
(1)空欄を埋めよ.
(2)上の条件を満たす有理関数f(x)で①の右辺がx=1で収束しないような,
f(x)のできるだけ簡単な例を挙げよ.(間違っていたら負の点数)
(3)前問より上の文章は間違っている.その誤りを説明せよ.(記述)
2009/9/29
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