共役の重複

前節に引き続きα=exp(2πi/12), すなわち x^4-x^2+1=0 の解とする。

・αに対してβ=α+α^3 について考える。βの共役は
σ_5(β)=α^5+α^3, σ_7(β)=α^7+α^9, σ_11(β)=α^11+α^9 であり
ちなみにこれら4つの複素数は具体的には ±√3/2±(3/2)√-1 と書ける。
ちなみに最小多項式を求めると x^4+3x^2+9 である。

・β=α+α^5 について考える。これはαとα^5の対称式になっている。
σ_5(β)=β ・・・① が成り立つ。一方で、σ_7(β)=σ_11(β)・・・②
（なぜなら7≡11*5 (mod 12) だから σ_7(β)=σ_5(σ_11(β))
　これと①と合わせれば②を得られる。）
βとσ_7(β)の基本対称式は有理数になる。(*6)
よってそれらはある2次方程式の解である。(実はそれらは±√-1)

・一般にσ_c(β) [c=1,5,7,11] の値がn種類ならβの最小多項式はn次式である。
　その際、nはαの最小多項式の次数（今回は4）の約数になる。

(*6) この場合には4変数a,b,c,dの基本対称式が有理式であり
　a=b, c=d ならば aとcの基本対称式が有理式であることを主張するものである。
　この主張は、次の補題を使うと一般化を含めて納得しやすいと思う。
[補題]
n変数の対称式を考える。次は同値である。
(1) n変数の基本対称式がすべて有理数
(2) m=1,2,..,n に対してn変数のm乗和がすべて有理数
[補題の証明]
n変数のm乗和において(m≦n) m次の基本対称式の係数が0でない。
（∵g(x) = x^m-x^(m-k) という方程式の解を考えると
　解のk次以外の基本対称式は0であり、k乗和が0でないから。）
よってm乗和が有理数でm-1次以下の基本対称式が有理数なら
m次の基本対称式が有理数であることが言える。繰り返せば良い。
[補題の使い方]
4変数a,b,c,dの基本対称式が有理数
⇒4変数a,b,c,dのn乗和が有理数
⇒a=b,c=d なら a,cのn乗和が有理数であることが従う
⇒a,cの基本対称式が有理数であることが従う。