a.3 最小多項式、共役
・代数的な数：
ある(Q係数)多項式A(x)があってA(α)=0となるとき
αは(Q上の)「代数的な数」であるという。
・このようなA(x)のうち次数が最小で最高次が1のものを、
(Q上での)αの「最小多項式」と呼ぶ。
＃√2,√(3+√2)など、べき根で表される数は代数的な数である。
これらの最小多項式はそれぞれx^2-2, x^4-6x^2+7である。
＃代数的な数同士の和差積商、多項式は代数的な数となる。
＃√2+√3の最小多項式は√2,√3の最小多項式と終結式を利用して
終結式：resultant(y^2-2, (x-y)^2-3, y); で求められる。
> x^4-10x^2+1
＃5*3^(2/3)+2*3^(1/3)+1の最小多項式は3^(1/3)の最小多項式を利用して
終結式：resultant(y^3-3,x-(5*y^2+2*y+1),y); で求められる。
> x^3-3x^2-87x-1060
・αが代数的な数である時、Q(α)はQ[x]/A(x)に同型 (ちょっと重要)
Q[x]/A(x)というのは、xの多項式Q[x]をA(x)で割った剰余の集合を表す記号。
言いかえればαの有理式はαのn-1次以下の多項式で一意に表される。
＃一意でないとするとn-1次以下の最小多項式が存在することになり矛盾。
＃√2の有理式は √2の1次式で一意に表すことができる。
＃既約な方程式B(x)=x^3+x+1＝0の解をαとする。
αの有理式はαの2次式で一意に表すことができる。
＃(αの2次式) / (αの2次式) で表せる所までは良いだろう。
分子をC(α),分母をA(α)とすればA(x),B(x)は共通因数を持たないから
A(x)*P(x)＋B(x)*Q(x)＝C(x) となる多項式P(x),Q(x)を構成できる。(前節)
B(α)=0 より C(α)/A(α)＝P(α) と分母を有理化できる。
この議論は一般の代数的な数でも同様にすることができる。
☆実際に有理化するときは、次のような方法を使うこともできる。
αはある3次方程式の解であるとする。
(αの2次式) / (αの2次式)＝aα^2+bα+c とおく。
分母を払って、αの条件から右辺の次数を2次に下げる。
係数はa,b,cの1次式になるから係数比較した連立方程式でa,b,cを得る。
・共役
αの最小多項式のα以外の解を、αに対する「共役」と呼ぶ。
共役は(最小多項式の次数-1)個存在することになる。
＃最小多項式が重解を持たないことを前提としている。
（ここではf(x)とf'(x)が素になるからそう考えて良い。）
α{0}を自身として、α{1},α{2},...α{n-1}という記号で共役を表すことにする。
＃√2の共役は-√2
＃α＝3^(1/3)の共役はα*(-1/2±√-3/2)
＃√2+√3の共役は√2-√3, -√2+√3, -√2-√3
＃(αの多項式)の共役＝(αの共役)の多項式
＃共役たちの和や積といった対称式は有理数である。
なぜならそれらは最小多項式の係数で表されるからである。
＃従って、分母の有理化では共役たちを分母分子に掛ける方法がある。
＃1/(√2+√3+√5)の分母の有理化の場合
分母分子に7個の(±√2±√3±√5)を掛ける方法がある。実行は大変だが。
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