F_q上の楕円曲線


F_q上の楕円曲線の群構造を求めるスクリプトを作成した。
y^2 +xy +y =x^3 +x^2 +x +
q=p^s=^  作成

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2017/1/7 作成 1/8 有限次拡大を実装
・aの多項式はa^s-1またはa^s-a-1の形で1次の因数を持たないものを探しています。
s≧4のときにはそれは既約でない可能性があり、うまくいかない原因の1つです。
(良いアイデアあったら教えてください -> twitter@icqk3)

有限次拡大を実装したのはフロベニウス写像を観察したかったためである。
フロベニウス写像のトレースをTとおくと特性多項式がX^2-TX+pである
(F_p点の個数N(無限遠点含む)を数えることで T=1+p-N と Tを得られる)

(例1) p^s=5^3, a1,a3,a2,a4,a6=0,0,0,1,1, j=2, 群:Z/54Z×Z/2Z, a^3-a-2=0
N=9でありT=-3,
P = (3+3a, 2+4a+a^2) に対して
Q = σ(P) = ((3+3a)^5, (2+4a+a^2)^5) = (4+3a+a^2, 2+a^2)
R = σσ(P) = ((4+3a+a^2)^5, (2+a^2)^5) = (2+4a+4a^2, 4+a+3a^2)
スクリプトにより Z/54Z×Z/2Z の元としてP=[1,0], Q=[10,1], R=[19,1] であり、
R+3Q+5P=0 が確認できる。

(例2) p^s=5^3, a1,a3,a2,a4,a6=0,0,0,1,2, j=1, 群:Z/148Z, a^3-a-2=0
N=4でありT=2,
P=(a,2+a^2) に対して
Q=σ(P)=(2+a+2a^2,4+a+3a^2)
R=σσ(P)=(3+3a+3a^2,2+4a+a^2)
Z/148Zの元として、P=1, Q=137, R=121、確かにR-2Q+5P≡0 (mod 148)

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