k≦20までのW(x)とF(x,y)


W(x)は3b.3節で登場する。古いページでは4.1節で登場する。
複素数α:1の原始k乗根=円分多項式Φ[k](x)の解(の1つ)
複素数β=Σα^d [d∈A] (A:kを法とする既約乗法群の部分群)
W(x): βの最小多項式
判別式:Π(i<j) (i番目の解-j番目の解)^2 という積のこと。共役差積の2乗。
F(y)=F(β,y)=F(x,y): 係数にx=βを使ったαの最小多項式

k A W(x) W(x)の判別式 F(x,y)
1 {1} x-1 1 y-x
2 {1} x+1 1 y-x
3 {1} x2+x+1 -3 y-x
{1,2} x+1 1 y2+y+1
4 {1} x2+1 -22 y-x
{1,3} 0 / /
5 {1} x4+x3+x2+x+1 53 y-x
{1,4} x2+x-1 5 y2-xy+1
{1,2,3,4} x+1 1 y4+y3+y2+y+1=Φ[5](y)
6 {1} x2-x+1 -3 y-x
{1,5} x-1 1 y2-y+1
7 {1} x6+x5+x4+x3+x2+x+1 -75 y-x
{1,6} x3+x2-2x-1 72 y2-xy+1
{1,2,4} x2+x+2 -7 y3-xy2-(x+1)y-1
{1,2,3,4,5,6} x+1 1 Φ[7](y)
8 {1} x4+1 28 y-x
{1,3} x2+2 -23 y2-xy-1
{1,7} x2-2 23 y2-xy+1
{1,5},{1,3,5,7} 0 / /
9 {1} x6+x3+1 -39 y-x
{1,8} x3-3x+1 34 y2-xy+1
{1,4,7},{1,2,4,5,7,8} 0 / /
10 {1} x4-x3+x2-x+1 53 y-x
{1,9} x2-x-1 5 y2-xy+1
{1,3,7,9} x-1 1 y4-y3+y2-y+1
11 {1} x10+x9+x8+x7+x6
+x5+x4+x3+x2+x+1
-119 y-x
{1,10} x5+x4-4x3-3x2+3x+1 114 y2-xy+1
{1,3,4,5,9} x2+x+3 -11 y5-xy4-y3+y2-(x+1)y-1
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} x+1 1 Φ[11](y)
12 {1} x4-x2+1 24*32 y-x
{1,5} x2+1 -22 y2-xy-1
{1,11} x2-3 22*3 y2-xy+1
{1,7},{1,5,7,11} 0 / /
13 {1} x12+x11+x10+x9+x8+x7
+x6+x5+x4+x3+x2+x+1
1311 y-x
{1,12} x6+x5-5x4-4x3+6x2+3x-1 135 y2-xy+1
{1,3,9} x4+x3+2x2-4x+3 32*133 y3-xy2+y-2xy/3-x3y/3-1
{1,5,8,12} x3+x2-4x+1 132 y4-xy3+(x2+x-1)y2-xy+1
{1,3,4,9,10,12} x2+x-3 13 y6-xy5+2y4-xy3-y3+2y2-xy+1
{1,2,3,...,10,11,12} x+1 1 Φ[13](y)
14 {1} x6-x5+x4-x3+x2-x+1 -75 y-x
{1,13} x3-x2-2x+1 72 y2-xy+1
{1,9,11} x2-x+2 -7 y3-xy2+(x-1)y+1
{1,3,5,9,11,13} x-1 1 Φ[14](y)
15 {1} x8-x7+x5-x4+x3-x+1 34*56 y-x
{1,4} x4-x3+2x2+x+1 22*32*52 y2-xy-x3/2+x2-x-1/2
{1,11} x4-x3+x2-x+1 53 y2-xy+x2
{1,14} x4-x3-4x2+4x+1 32*53 y2-xy+1
{1,4,11,14} x2-x-1 5 y4-xy3+xy2-xy+1
{1,4,7,13} x2-x+1 -3 y4-xy3+(x-1)y2+y-x
{1,2,4,8} x2-x+4 -3*5 y4-xy3-2y2+xy-y+1
{1,2,4,7,8,11,13,14} x-1 1 Φ[15](y)
16 {1} x8+1 224 y-x
{1,7} x4+4x2+2 211 y2-xy-1
{1,15} x4-4x2+2 211 y2-xy+1
他={1,9}を含むもの 0 / /
17 {1} x16+x15+x14+...+x3+x2+x+1 1715 y-x
{1,16} x8+x7-7x6-6x5+15x4
+10x3-10x2-4x+1
177 y2-xy+1
{1,4,13,16} x4+x3-6x2-x+1 22*173 y4-xy3-(x3-6x-1)y2/2-xy+1
{1,2,4,8,9,13,15,16} x2+x-4 17 y8-xy7-(x-2)y6-(x-3)y5-(2x
-1)y4-(x-3)y3-(x-2)y2-xy+1
{1,2,3,...,14,15,16} x+1 1 Φ[17](y)
18 {1} x6-x3+1 -39 y-x
{1,17} x3-3x-1 34 y2-xy+1
{1,7,13},{1,5,7,11,1319} 0 / /
19 {1} x18+x17+x16+...+x3+x2+x+1 -1917 y-x
{1,18} x9+x8-8x7-7x6+21x5
+15x4-20x3-10x2+5x+1
198 y2-xy+1
{1,7,11} x6+x5+2x4-8x3-x2+5x+7 -72*112*195 y3-xy2-(9x5+15x4+28x3
-79x2-36x+21)y/77-1
{1,7,8,11,12,18} x3+x2-6x-7 192 y6-xy5+(x2-2)y4
+(x2-2x-6)y3+(x2-2)y2-xy+1
{1,4,5,6,7,9,11,16,17} x2+x+5 -19 y9-xy8-2y7+(x+2)y6-(x-2)y5
-(x+3)y4+(x-1)y3+2y2-(x+1)y-1
{1,2,3,...,16,17,18} x+1 1 Φ[19](y)
20 {1} x8-x6+x4-x2+1 28*56 y-x
{1,9} x4+3x2+1 24*52 y2-xy-1
{1,19} x4-5x2+5 24*53 y2-xy+1
{1,3,7,9} x2+5 -22*5 y4-xy3-3y2+xy+1
{1,9,13,17} x2+1 -22 y4-xy3-y2+xy+1
他={1,11}を含むもの 0 / /

【命題】(5b.1節、あるいは以前の「追記」):
素数pをkで割った余りが集合Aに属するならば、
W(x)がpで割り切れるような整数xが存在する。
逆にW(x)が素数pで割り切れるような整数xが存在するならば、
pをkで割った余りが集合Aに属するか、さもなければ、
pはW(x)の判別式の約数か、あるいはkの約数である。
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