[1] 核心的な計算 [1-1] X: y^2=x^3+xの場合 Xは複素トーラス C/Λ と同一視できるのであった。 格子Λはある実定数aによって、{(1+i)a,(1-i)a}と書かれる。 以下C/Λの元 u(1+i)a+v(1-i)a mod Λ を、＜u+vi＞と略記する。 Xの2等分点はこの同一視で次のように定められる。 (x,y)=(i,0) --> ＜i/2＞ (x,y)=(-i,0) --> ＜1/2＞ (x,y)=(0,0) --> ＜1/2+i/2＞ (2+2i)等分点の1つを具体的に求めると P = (x,y)=((1+√2)i, (1+√2)(1-i)) と表せてこれはQ(i)の2次拡大を与える。 Q = (x,y)=((1-√2)i, (1-√2)(1-i)) は√2の符号を変えた共役な点である この場合は例えばP+Qが(x,y)=(0,0) --> ＜1/2+i/2＞に移ることから、QはPの(1+2i)倍点であることが分かる。 ---- [1-2] X': y^2=x^3-x の場合 格子Λ'は、実定数bによる{b,ib}の形をしている。（この形の違いは今回は重要ではない。） 先と同様に、C/Λ'の元 ub+ivb mod Λ'を＜u+vi＞と略記する。 X'の2等分点はこの同一視で次のように定められる。 (x,y)=(-1,0) --> ＜i/2＞ (x,y)=(0,0) --> ＜1/2+i/2＞ (x,y)=(1,0) --> ＜1/2＞ (2+2i)等分点の1つを具体的に求めて P = (x,y) = (1+√2, 2+√2) とその共役： Q = (x,y) = (1-√2, 2-√2) との関係を調べると P+Qは(x,y)=(-1,0) --> ＜i/2＞に移ることから、今度はQはPの(3+2i)倍点である。 図を示した。最初の例Xでは水色の実線で示した組が共役の関係で、次の例X'では点線で示した組が共役という事情である。
[2] 類体論の視点 pを奇素点とする。 説明には局所アルティン写像θ_pだけが必要である。 これは局所体の乗法群からその最大アーベル拡大のガロア群への準同型である。 局所アルティン写像は、「uは分岐拡大に作用し、pは不分岐拡大に作用する」 a = u*π^k （uを可逆元で、πは素元）と分解すると、 ・θ_p(a)は、p冪等分点に対して、u^-1倍点に送る写像として作用する。（分岐拡大） ・θ_p(a)は、pと素な等分点に対して、フロベニウスとして作用する。（不分岐拡大） さっき考察した(2+2i)等分点Pへの作用を考える。 （pが奇素点なので）不分岐拡大に対するフロベニウス作用である。 Pの座標は2次拡大で得られ、その共役は[1]で見たように、Xでは(1+2i)倍点, X'では(3+2i)倍点であるから ガロア群は点Pに対して恒等に作用するか、あるいはこの共役に送るかの2つの選択肢しかない。 従ってフロベニウス写像を(a+bi)倍写像とおいたとき、 X:y^2=x^3+x の場合は a+bi≡1,1+2i (mod 2+2i) X':y^2=x^3+x の場合は a+bi≡1,3+2i (mod 2+2i) を満たさなくてはならないことが分かる。 2020/10/11